Sequência 6: Tarefas para o Ensino Fundamental II e Médio

A tarefa contempla a regularidade presente em uma sequência e relaciona a sequência formada pelo número de cubos das figuras com Progressões Aritméticas (P.A.).

Séries/anos nas quais ela pode ser aplicada: 2º Ano do Ensino Médio

Foi desenvolvida na turma da professora: Rosangela (Tarefa elaborada pela Prof.ª Rosangela).

Objetivos da tarefa 1:

·         Identificar a sequência formada pelas distâncias em que a minhoca está com relação ao ponto de partida a cada dia;

·         Identificar regularidades nessa sequência;

·         Relacionar a sequência formada com Progressões Aritméticas (P.A.);

·         Estabelecer relações entre o dia e a distância em que a minhoca está em relação ao ponto de partida;

·         Identificar a sequência formada pela distância percorrida no total, pela minhoca, ao final de cada dia;

·         Estabelecer relações entre o dia e a distância percorrida pela minhoca no total, ao final desse dia;

·         Generalizar essas relações por meio de uma lei de formação.

Tarefa 1: Uma minhoca anda sempre sobre uma linha reta. Todo dia ela avança 5m e recua 3m. a) Ao final de 15 dias a minhoca estará a que distância do ponto de partida? b) Existe alguma regularidade na sequência formada pelas distâncias que a minhoca estará do ponto de partida ao final de cada dia? c) Vocês conseguiriam descobrir a que distância ela estará do ponto de partida, ao final de qualquer quantidade de dias? Como? d) Ao final de 27 dias, quantos metros terá percorrido, no total, esta minhoca? e) Existe alguma regularidade na sequência formada pela quantidade de metros percorridos pela minhoca, no total, ao final de cada dia? f) Vocês conseguiriam descobrir quantos metros ela terá percorrido, no total, ao final de qualquer quantidade de dias? Como?

A. Respostas esperadas:

1)

a) 30m, pois se ela avança 5m e recua 3m todos os dias, ela estará se distanciando do ponto de partida2m em cada dia e em 15 dias, basta fazer 15 dias . 2m por dia = 30m.

b) Sim.

(2, 4, 6, 8, 10, ...) Ao final de cada dia ela estará 2m a frente em relação ao dia anterior.

c) Sim. Basta multiplicar a quantidade de dias por 2, ou seja, d = 2n, sendo d a distancia do ponto de partida e n a quantidade de dias.

d) 216m, pois s ela avança 5m e recua 3m todos os dias, ela estará percorrendo diariamente uma distancia de 8m e em 27 dias, basta fazer 27 dias . 8m por dia = 216m.

e) Sim.

(8, 16, 24, 32,...) Ao final de cada dia ela terá percorrido no total, 8 metros a mais do que no dia anterior.

f) Sim. Basta multiplicar a quantidade de dias por 8, ou seja, d = 8n, sendo d a distância percorrida no total por dia e n a quantidade de dias.

B. Potencialidades da tarefa:

Essa tarefa, desenvolvida em sala de aula, nos possibilitou identificar algumas potencialidades:

- A investigação de relações e regularidades em sequências;

- A comunicação de procedimentos/estratégias de resolução.

C. Descrição de como foi a tarefa em sala de aula:

Profa. Rosangela - 2º ano Ensino Médio

A tarefa, retirada do Banco de questões da Obmep e adaptada, foi desenvolvida em dois 2ºs anos do Ensino Médio numa escola pública municipal, na qual a professora atua.

Participaram 27 alunos do 2º A, divididos em 6 grupos de 4 integrantes e 1 de 3, e também,  29 alunos do 2º B, distribuídos em 5 grupos de 4 componentes e 3 de 3, totalizando 56 alunos. A formação dos grupos foi de livre escolha dos alunos, desde que respeitando o limite de 4 integrantes. Cada um dos grupos recebeu uma cópia da tarefa a ser desenvolvida.  A tarefa tomou duas aulas: uma para a sua resolução e outra para a socialização. As aulas foram audiogravadas.  Enquanto os grupos desenvolviam a tarefa a professora passou pelos grupos incentivando-os, e fazendo algumas problematizações para que refletissem sobre suas respostas.

Esses alunos não estavam acostumados com trabalhos em grupo nas aulas de matemática e muito menos com trabalhos investigativos. Além disso, estando no 2º ano do Ensino Médio, já haviam estudado sequências numéricas – Progressões Aritmética e Geométrica - no ano anterior, em cumprimento ao currículo oficial do Estado de São Paulo. Em vista disso, a expectativa da professora é que eles conseguissem fazer as generalizações.

D. Algumas considerações coletivas do grupo quanto à aplicação da tarefa:

            Apenas a professora Rosangela aplicou a tarefa em suas turmas. Ela constatou que:

• Alguns grupos se confundiram na interpretação da questão d, achando que teriam que utilizar o mesmo raciocínio da questão a.
• A maioria dos grupos conseguiu generalizar.

Objetivos da tarefa 2:

Verificar se o aluno é capaz de:

• Identificar regularidades entre o número de cubos de cada figura e a posição da figura;
• Relacionar a sequência formada pelo número de cubos das figuras com Progressões Aritméticas (P.A.), no caso do Ensino Médio.
• Estabelecer relações entre o número de cubos do muro e a quantia de pontas;
• Identificar regularidades entre o número de pontas de cada figura;
• Relacionar a sequência formada pelo número de pontas das figuras com Progressões Aritméticas (P.A.), no caso do Ensino Médio;
• Generalizar as relações por meio de uma lei de formação.

Tarefa 2: Utilizando cubos são construídos muros conforme representa a sequência de figuras abaixo:     Figura                                  Figura 2                                        Figura 3 a) Qual seria o número de cubos necessários para construir um muro de 10 pontas? b) Há alguma relação entre o número de pontas de cada muro e a quantidade de cubos necessários para sua construção? c) Vocês conseguiriam criar uma expressão matemática para calcular a quantidade de cubos necessários para a construção de um muro com n pontas? d) Qual seria a quantidade de pontas do muro representado pela Figura12? e) Há alguma relação entre o número da figura e a quantidade de pontas do muro que ela representa? f) Vocês conseguiriam criar uma expressão matemática para calcular a quantidade de pontas do muro representado pela Figura N? g) Qual seria a quantidade de cubos necessários para a construção do muro representado pela Figura 16? h) Há alguma relação entre o número da figura e a quantidade de cubos necessários para a construção do muro que ela representa? i) Vocês conseguiriam criar uma expressão matemática para calcular a quantidade de cubos necessários para a construção do muro representado pela Figura N?

A. Respostas esperadas:

a) 29 cubos.

Nº de pontas	Quantidade de cubos
2	5
3	8
4	11
5	14

b) Sim.

O dobro do nº de pontas mais a quantidade de pontas menos 1 é igual a quantidade de cubos.

c) Sim.    Se a_n = 2n + (n – 1), então,a_n = 3n – 1, em que  a_né a quantidade de cubos e n é a quantidade de pontas.

d) 13 pontas.

e) Sim.

Nº da Figura	Quantidade de pontas
1	2
2	3
3	4
4	5

O nº de pontas é sempre uma unidade a mais que o número da figura.

f) Sim. a_N = N + 1, em que a_N é a quantidade de pontas e N o nº da Figura.

g) 50 cubos.

h) Sim.

                

Nº da Figura	Quantidade de cubos
1	5
2	8
3	11
4	14

A quantidade de cubos é sempre o triplo do número da figura somado com 2.

i) Sim. a_N = 3N + 2, em que  a_n é a quantidade de cubos e  N é  o número da Figura, ou utilizando a fórmula da PA: a_n  = a₁ + (n – I).r

a_N = 5 + (N – 1).3

                        a_N = 5 + 3N - 3

a_N = 3N + 2

B. Potencialidades da tarefa:

Essa tarefa, desenvolvida em sala de aula, nos possibilitou identificar algumas potencialidades:

• O reconhecimento de diferentes leis de formação para uma mesma sequência e a percepção da equivalência entre elas, através da mediação do professor.
• Houve grupos que conseguiram estabelecer relações entre as três variáveis - nº de pontas, nº da figura e nº de cubos – mesmo não sendo solicitado para fazerem isso e criaram uma expressão algébrica para essa relação, por isso penso que poderia ter proposto uma questão sobre a relação entre o número de pontas, o número de cubos e o número da figura.
• Variedade de métodos de determinação de um termo da sequência: desenho, construção da sequência de termos, construção de tabelas, generalização, fórmula da P.A.
• Os alunos criaram uma lei de formação não prevista na tarefa: o número de pontas e o número de cubos.

C. Descrição de como foi a tarefa em sala de aula:

Profa. Rosangela - 2º ano do Ensino Médio

A tarefa também foi retirada do Banco de questões da Obmep e adaptada. Desenvolvida em dois 2ºs anos do Ensino Médio de uma escola pública no interior de São Paulo, onde a professora atua.

Participaram os mesmos alunos e a organização da sala e o movimento dos alunos e da professora foi o mesmo que o mencionado na tarefa 1. A única diferença é que esta tarefa tomou três aulas: duas para a resolução da tarefa e uma para a socialização.

D. Algumas considerações coletivas do grupo quanto à aplicação da tarefa:

            Apenas a professora Rosangela aplicou a tarefa em suas turmas. Ela constatou que:

• Alguns grupos se confundiram na interpretação da questão d, achando que teriam que utilizar o mesmo raciocínio da questão a.
• Alguns grupos não conseguiram fazer generalizações;
• Alguns grupos não conseguiram estabelecer as relações indicadas;
• Poucos grupos relacionaram as sequências formadas com uma P.A.
• Alguns grupos recorrem ao desenho das figuras para encontrar um termo desconhecido da sequência;
• Apesar de ser um conteúdo já estudado por esses alunos, alguns grupos tiveram dificuldade em observar regularidades e estabelecer relações, inclusive representar a relação algebricamente.