A tarefa contempla a regularidade presente em uma
sequência e relaciona a sequência formada pelo número de cubos das figuras com
Progressões Aritméticas (P.A.).
Séries/anos nas quais
ela pode ser aplicada:
2º Ano do Ensino Médio
Foi desenvolvida na
turma da professora:
Rosangela (Tarefa elaborada pela Prof.ª Rosangela).
Objetivos
da tarefa 1:
·
Identificar
a sequência formada pelas distâncias em que a minhoca está com relação ao ponto
de partida a cada dia;
·
Identificar
regularidades nessa sequência;
·
Relacionar
a sequência formada com Progressões Aritméticas (P.A.);
·
Estabelecer
relações entre o dia e a distância em que a minhoca está em relação ao ponto de
partida;
·
Identificar
a sequência formada pela distância percorrida no total, pela minhoca, ao final
de cada dia;
·
Estabelecer
relações entre o dia e a distância percorrida pela minhoca no total, ao final
desse dia;
·
Generalizar
essas relações por meio de uma lei de formação.
|
Tarefa 1:
Uma minhoca anda sempre sobre uma
linha reta. Todo dia ela avança 5m e recua 3m.
a) Ao final de 15 dias a minhoca
estará a que distância do ponto de partida?
b) Existe alguma regularidade na
sequência formada pelas distâncias que a minhoca estará do ponto de partida
ao final de cada dia?
c) Vocês conseguiriam descobrir a
que distância ela estará do ponto de partida, ao final de qualquer quantidade
de dias? Como?
d) Ao final de 27 dias, quantos
metros terá percorrido, no total, esta minhoca?
e)
Existe alguma regularidade na sequência formada pela quantidade de metros
percorridos pela minhoca, no total, ao final de cada dia?
f)
Vocês conseguiriam descobrir quantos metros ela terá percorrido, no total, ao
final de qualquer quantidade de dias? Como?
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A. Respostas esperadas:
1)
a) 30m, pois se ela
avança 5m e recua 3m todos os dias, ela estará se distanciando do ponto de
partida2m em cada dia e em 15 dias, basta fazer 15 dias . 2m por dia = 30m.
b) Sim.
(2, 4, 6, 8, 10, ...)
Ao final de cada dia ela estará 2m a frente em relação ao dia anterior.
c) Sim. Basta
multiplicar a quantidade de dias por 2, ou seja, d = 2n, sendo d a distancia do
ponto de partida e n a quantidade de dias.
d) 216m, pois s ela
avança 5m e recua 3m todos os dias, ela estará percorrendo diariamente uma
distancia de 8m e em 27 dias, basta fazer 27 dias . 8m por dia = 216m.
e) Sim.
(8, 16, 24, 32,...)
Ao final de cada dia ela terá percorrido no total, 8 metros a mais do que no
dia anterior.
f) Sim. Basta
multiplicar a quantidade de dias por 8, ou seja, d = 8n, sendo d a distância
percorrida no total por dia e n a quantidade de dias.
B. Potencialidades da tarefa:
Essa
tarefa, desenvolvida em sala de aula, nos possibilitou identificar algumas
potencialidades:
- A investigação de relações e
regularidades em sequências;
- A comunicação de
procedimentos/estratégias de resolução.
C. Descrição de como
foi a tarefa em sala de aula:
Profa. Rosangela - 2º
ano Ensino Médio
A tarefa, retirada do Banco de
questões da Obmep e adaptada, foi desenvolvida em dois 2ºs anos do Ensino Médio
numa escola pública municipal, na qual a professora atua.
Participaram 27 alunos do 2º A,
divididos em 6 grupos de 4 integrantes e 1 de 3, e também, 29 alunos do 2º B, distribuídos em 5 grupos
de 4 componentes e 3 de 3, totalizando 56 alunos. A formação dos grupos foi de
livre escolha dos alunos, desde que respeitando o limite de 4 integrantes. Cada
um dos grupos recebeu uma cópia da tarefa a ser desenvolvida. A tarefa tomou duas aulas: uma para a sua resolução
e outra para a socialização. As aulas foram audiogravadas. Enquanto os grupos desenvolviam a tarefa a
professora passou pelos grupos incentivando-os, e fazendo algumas
problematizações para que refletissem sobre suas respostas.
Esses alunos não estavam
acostumados com trabalhos em grupo nas aulas de matemática e muito menos com
trabalhos investigativos. Além disso, estando no 2º ano do Ensino Médio, já
haviam estudado sequências numéricas – Progressões Aritmética e Geométrica - no
ano anterior, em cumprimento ao currículo oficial do Estado de São Paulo. Em
vista disso, a expectativa da professora é que eles conseguissem fazer as
generalizações.
D. Algumas
considerações coletivas do grupo quanto à aplicação da tarefa:
Apenas a professora Rosangela
aplicou a tarefa em suas turmas. Ela constatou que:
- Alguns grupos se confundiram na interpretação
da questão d, achando que teriam que
utilizar o mesmo raciocínio da questão a.
- A maioria dos grupos conseguiu generalizar.
Objetivos
da tarefa 2:
Verificar se o aluno é
capaz de:
- Identificar
regularidades entre o número de cubos de cada figura e a posição da figura;
- Relacionar
a sequência formada pelo número de cubos das figuras com Progressões
Aritméticas (P.A.), no caso do Ensino Médio.
- Estabelecer
relações entre o número de cubos do muro e a quantia de pontas;
- Identificar
regularidades entre o número de pontas de cada figura;
- Relacionar
a sequência formada pelo número de pontas das figuras com Progressões
Aritméticas (P.A.), no caso do Ensino Médio;
- Generalizar
as relações por meio de uma lei de formação.
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Tarefa
2:
Utilizando cubos são construídos muros
conforme representa a sequência de figuras abaixo:
Figura Figura 2
Figura 3
a) Qual seria o número de cubos
necessários para construir um muro de 10 pontas?
b) Há alguma relação entre o
número de pontas de cada muro e a quantidade de cubos necessários para sua
construção?
c) Vocês conseguiriam criar uma
expressão matemática para calcular a quantidade de cubos necessários para a
construção de um muro com n pontas?
d) Qual seria a
quantidade de pontas do muro representado pela Figura12?
e) Há alguma relação entre o
número da figura e a quantidade de pontas do muro que ela representa?
f) Vocês conseguiriam criar uma
expressão matemática para calcular a quantidade de pontas do muro
representado pela Figura N?
g) Qual seria a quantidade de
cubos necessários para a construção do muro representado pela Figura 16?
h) Há alguma relação entre o
número da figura e a quantidade de cubos necessários para a construção do
muro que ela representa?
i) Vocês conseguiriam criar uma
expressão matemática para calcular a quantidade de cubos necessários para a
construção do muro representado pela Figura N?
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A. Respostas esperadas:
a) 29 cubos.
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Nº de pontas
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Quantidade de cubos
|
|
2
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5
|
|
3
|
8
|
|
4
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11
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|
5
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14
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b) Sim.
O dobro do nº de pontas
mais a quantidade de pontas menos 1 é igual a quantidade de cubos.
c) Sim. Se an = 2n + (n – 1), então,an
= 3n – 1, em que ané a
quantidade de cubos e n é a quantidade de pontas.
d) 13 pontas.
e) Sim.
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Nº da Figura
|
Quantidade de pontas
|
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1
|
2
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|
2
|
3
|
|
3
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4
|
|
4
|
5
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O nº de pontas é sempre
uma unidade a mais que o número da figura.
f) Sim. aN =
N + 1, em que aN é a quantidade de pontas e N o nº da Figura.
g) 50 cubos.
h) Sim.
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Nº da Figura
|
Quantidade de cubos
|
|
1
|
5
|
|
2
|
8
|
|
3
|
11
|
|
4
|
14
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A quantidade de cubos é
sempre o triplo do número da figura somado com 2.
i) Sim. aN =
3N + 2, em que an é a
quantidade de cubos e N é o número da Figura, ou utilizando a fórmula
da PA: an = a1 +
(n – I).r
aN = 5 + (N
– 1).3
aN = 5 + 3N - 3
aN = 3N + 2
B.
Potencialidades da tarefa:
Essa
tarefa, desenvolvida em sala de aula, nos possibilitou identificar algumas
potencialidades:
- O
reconhecimento de diferentes leis de formação para uma mesma sequência e a
percepção da equivalência entre elas, através da mediação do professor.
- Houve
grupos que conseguiram estabelecer relações entre as três variáveis - nº de
pontas, nº da figura e nº de cubos – mesmo não sendo solicitado para fazerem
isso e criaram uma expressão algébrica para essa relação, por isso penso que
poderia ter proposto uma questão sobre a relação entre o número de pontas, o
número de cubos e o número da figura.
- Variedade
de métodos de determinação de um termo da sequência: desenho, construção da
sequência de termos, construção de tabelas, generalização, fórmula da P.A.
- Os
alunos criaram uma lei de formação não prevista na tarefa: o número de pontas e
o número de cubos.
C. Descrição de como
foi a tarefa em sala de aula:
Profa.
Rosangela - 2º ano do Ensino Médio
A tarefa também foi retirada do
Banco de questões da Obmep e adaptada. Desenvolvida em dois 2ºs anos do Ensino
Médio de uma escola pública no interior de São Paulo, onde a professora atua.
Participaram os mesmos alunos e a
organização da sala e o movimento dos alunos e da professora foi o mesmo que o
mencionado na tarefa 1. A única diferença é que esta tarefa tomou três aulas:
duas para a resolução da tarefa e uma para a socialização.
D. Algumas
considerações coletivas do grupo quanto à aplicação da tarefa:
Apenas a professora Rosangela
aplicou a tarefa em suas turmas. Ela constatou que:
- Alguns grupos se confundiram na interpretação
da questão d, achando que teriam que
utilizar o mesmo raciocínio da questão a.
- Alguns
grupos não conseguiram fazer generalizações;
- Alguns
grupos não conseguiram estabelecer as relações indicadas;
- Poucos
grupos relacionaram as sequências formadas com uma P.A.
- Alguns
grupos recorrem ao desenho das figuras para encontrar um termo desconhecido da
sequência;
- Apesar
de ser um conteúdo já estudado por esses alunos, alguns grupos tiveram
dificuldade em observar regularidades e estabelecer relações, inclusive
representar a relação algebricamente.
